I MULTIPLI DI UN NUMERO NATURALE E ATTIVITA' CON LA TAVOLA PITAGORICA

Si raccolgono alla lavagna le idee degli studenti su cosa sia un multiplo e in che situazione lo abbiamo già incontrato. Si discutono le diverse proposte per poi arrivare ad una definizione comune la più vicina possibile alla definizione. 

Si riflette sul fatto che i multipli di un numero sono infiniti perché se tutti i multipli di un generico numero naturale "a" possono essere scritti come a x n, dove n può essere qualsiasi numero naturale, essendo i numeri naturali infiniti, allora anche i multipli di "a" lo sono.

Viene consegnata agli studenti una tavola Pitagorica con i multipli dei primi 15 numeri, si fa riflettere sulla struttura e sulle particolarità della tavola. Si propone un esercizio in cui, dato un numero, si chiede di individuare di quali numeri sia il multiplo utilizzando la tavola. 

Si fanno colorare i numeri sulla diagonale centrale per evidenziare i quadrati perfetti, numeri che originano dalla moltiplicazione di un numero per se stesso.

NUMERI PARI, NUMERI DISPARI E PARITA' DELLO ZERO

Gli studenti già sanno distinguere un numero pari da un numero dispari, in questa sede è però interessante formalizzare questi concetti, anche alla luce di quanto fin qui appreso. Si può comunque iniziare chiedendo alla classe di provare a definire un numero pari e un numero dispari. 

Occorre innanzitutto specificare che un numero pari, per essere tale, deve essere un numero naturale: non ha senso parlare di pari e dispari al di fuori di questo insieme.  Utilizzando la tavola pitagorica si può far notare come i numeri pari siano tutti presenti nella tabellina del 2. Essendo i numeri pari tutti multipli di 2 e perciò ottenibili moltiplicando per 2 un altro numero naturale (n), possiamo indicare un generico numero pari come 2xn ovvero 2n e di conseguenza un qualsiasi numero dispari come 2n+1 o 2n-1 poiché un numero dispari è sempre successivo ad un numero pari. Si fanno alla lavagna degli esempi per verificare che la formula funzioni, dato un numero ad es. 18, esso è pari se posso ottenerlo moltiplicando per 2 un altro numero naturale (in questo caso 9) perciò concludo che esso è un numero pari. 

Dopo qualche esempio di questo tipo, si chiede agli studenti di verificare se lo zero sia pari o dispari argomentando matematicamente la loro risposta. Ognuno prova a dare una risposta individualmente, si può poi chiedere di confrontarsi a coppie o in gruppo per trovare una risposta condivisa. Gli studenti arrivano generalmente a dichiarare che lo zero è pari, ma non tutti riusciranno a dimostrarlo. Si leggono alcune risposte e si ragiona sulla correttezza dei ragionamenti seguiti. Si procede con una dimostrazione algebrica basata sul fatto che non potrò mai ottenere zero sottraendo o sommando 1 ad un numero pari, perciò zero non può essere dispari. Al contrario possiamo ottenerlo moltiplicando zero per due.  

Se posso ottenere un numero pari moltiplicando per 2 un numero naturale, al contrario un numero pari sarà sempre divisibile per 2. Si può passare quindi ad una definizione di numero pari basata sulla divisione: qualsiasi numero naturale che diviso per 2  dà un altro numero naturale è pari. Al contrario se un numero diviso 2 dà come quoziente un numero con la virgola è dispari. Con lo stesso ragionamento si può dimostrare che zero è pari.

Per gli alunni 104 ci si potrà accontentare di definire come pari qualsiasi numero intero la cui ultima cifra si può trovare nella tavola pitagorica nella tabellina del 2 (ovvero se finisce per 2, 4, 6, 8) o che finisce per zero. Oppure qualsiasi numero che diviso 2 non dà un numero con la virgola.

DIVISORI DI UN NUMERO NATURALE

Si raccolgono alla lavagna le idee degli studenti su cosa sia un divisore e in che situazione abbiamo già incontrato questo termine. Qui però parleremo di divisori e di divisioni sempre interni all'insieme dei numeri naturali. Si discutono le diverse proposte per poi arrivare ad una definizione di divisore, ovvero qualsiasi numero naturale per cui possiamo dividere un numero naturale e ottenere come quoziente sempre un numero naturale. 

Si mostra, utilizzando la divisione e la moltiplicazione come operazioni inverse, che se a:b=c allora a=bxc cioè se b è divisore di a allora a è multiplo di b. Si parte da degli esempi per arrivare alla formula con le lettere. Per lo stesso motivo possiamo dire che 2 è divisore di tutti i numeri pari perché qualsiasi numero pari è multiplo di 2.

Un numero naturale può avere uno o più divisori. Si può partire ad esempio dal numero 12 e si può chiedere agli studenti di trovare tutti i divisori di 12. Si lascia qualche minuto e poi si raccolgono i risultati: quasi tutti troveranno 2, 3 e 4, ma solo alcuni penseranno a 1 e a 12.

Si propongono alcuni altri numeri (ad es. 60, 81,  92 e 130) di cui gli studenti provano a trovare tutti i divisori aiutandosi con la tavola pitagorica.

Una volta scritti i divisori si può analizzare la tabella dei divisori (vedi materiali qui a lato) da cui si possono far dedurre alcune cose:

• i divisori di un numero sono finiti

• un numero può avere più divisori

• tutti i numeri sono divisibili per 1

• il numero 1 è l'unico numero che ha solo se stesso come divisore

• tutti i numeri interi tranne 1 sono divisibili per 1 e per se stessi

• quando un numero ha tanti divisori, i divisori più grandi si possono ottenere dal prodotto dei divisori più piccoli

Discorso a parte va fatto per lo zero: dato che qualsiasi numero moltiplicato per zero dà zero, allora  qualsiasi numero naturale può essere un suo divisore; essendo i numeri naturali infiniti, se ne deduce che i divisori di zero sono infiniti.

Sempre osservando la tabella dei divisori si fa notare che alcuni numeri sono divisibili solo per 1 e per se stessi, in questo caso essi si dicono numeri primi. Si consegna agli studenti la tavola con i più piccoli numeri primi chiedendo di ricordare almeno quelli fino al cento (vedi tabella nei materiali qui a lato).

E' bene evidenziare e far scrivere sul quaderno che, stando alla definizione, 1 non è un numero primo, mentre 2, pur essendo pari, è un numero primo.

TEST DI VERIFICA

Verifica su multipli e divisori.

Dopo la correzione in classe si prepara un test di recupero personalizzato che prevede che ciascuno svolga soltanto gli esercizi sugli argomenti che nella verifica non risultano acquisiti.

TEST DI VERIFICA

Verifica su M.C.D. e m.c.m.

Dopo la correzione in classe si prepara un test di recupero personalizzato che prevede che ciascuno svolga soltanto gli esercizi sugli argomenti che nella verifica non risultano acquisiti.

PRIORITA' DELLE OPERAZIONI

Si parte scrivendo alla lavagna una piccola espressione con due operazioni chiedendo ai ragazzi di risolverla. L'espressione dovrà essere composta da una addizione seguita da una moltiplicazione: ad esempio 5 +3 x 2 =? Si discute quindi dei risultati ottenuti. 

Alcuni studenti hanno già risolto delle espressioni alle elementari e ricordano la priorità delle operazioni, altri invece no, ma difficilmente sanno spiegare il perché. A questo scopo occorre far vedere come la moltiplicazione sia l'abbreviazione di una somma ripetuta, la sottrazione l'operazione opposta dell'addizione e la divisione quella opposta alla moltiplicazione.

A questo punto sono utili alcuni esercizi di consolidamento con semplici espressioni senza parentesi da svolgere utilizzando correttamente la diversa priorità delle quattro operazioni.

Successivamente si introducono le parentesi come modo per modificare la priorità. Si possono confrontare  ad esempio le due scritture 5 + 3 x 2=  e  (5+3) x 2 = al fine di verificare che il risultato è diverso e poi confrontare 5 + 3 x 2 = e 5 + (3 x 2) =  per verificare che danno lo stesso risultato. Dopo qualche esempio di questo tipo si mostrano i diversi ordini di parentesi e il relativo grado di priorità. 

Prima di concludere la lezione si fa un riassunto di quanto detto e si mostra (oppure si consegna oppure si fa trascrivere ) la tabella PEMDAS, molto utile per ricordare le regole sulla priorità. Occorre qui specificare che la "E" in PEMDAS sarà chiarita in lezioni successive.

Per casa si assegnano esercizi sulle espressioni con le parentesi.

L'ultimo aspetto trattato in questa fase riguarda la formalizzazione di una espressione a partire dalla forma verbale e viceversa.  Si esercitano gli alunni con frasi alla lavagna da trasformare in espressioni, aiutandoli a focalizzarsi sulle parole da trasformare in numeri e simboli sottolineandole con colori diversi (un colore per le parole che indicano le operazioni e un altro colore per quelle che indicano i numeri). 

Questa attività è molto importante per consolidare quanto appreso sulla priorità e sulla nomenclatura delle operazioni (somma, fattore, dividendo ecc.). 

Una volta che gli studenti hanno preso dimestichezza, si può proporre il gioco "Dall'espressione al testo" (vedi link qui a destra).  Il gioco prevede la suddivisione in coppie e la consegna di un foglietto con una semplice espressione a uno dei due membri della coppia. Questo non deve far vedere al compagno quanto scritto nel foglietto ma deve dettare al compagno l'espressione sottoforma di testo che questo dovrà poi tradurre nell'espressione da scrivere sulla scheda (vedi scheda relativa). Allo scadere del tempo (10 minuti), si ritirano i foglietti e la scheda e si fa il confronto per vedere quali coppie sono riuscite a riscrivere l'espressione. Si invitano le coppie che hanno sbagliato a rivedere quanto hanno fatto e ad individuare gli errori commessi.